$\text{Part 1}$：一次方程

并不是很难，一般形式为： $ax = b$

所以其解为 $x = \dfrac{a}{b}$

所以一次方程的解发就是将式子化简成为 $ax = b$ 即可

$\text{Part 2}$ :二次方程

一.求解公式与判别式

注意：解指的是实数解

对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$

判别式： $\Delta = b^2 - 4ac$

当 $\Delta > 0$ 时原方程有两个不相同的解

当 $\Delta = 0$ 时原方程有两个相同的解

当 $\Delta < 0$ 时原方程没有解

二.根与 $\Delta$ 的关系

根据以上信息我们来练一道题：

已知 $ma^2 + \sqrt{1 - m}x + 2 = 0$ 有两个不同的解，试求 $m$ 的范围

首先我们知道根号里的数必须 $\ge 0$ 所以 $m \le 1$

接着我们来计算 $\Delta$

$\Delta = \sqrt{m - 1} ^ 2 - 4 \times 2 \times m = - 1 - 7m > 0$

所以 $m > -\dfrac{1}{7}$ ,综上 $1 \ge m > -\dfrac{1}{7}$

三.因式定理

设方程的第一个解为 $x_1$ 另一个为 $x_2$

所以就有 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

这是很小的一个知识点，但是十分重要

四.韦达定理

通过因式定理我们知道 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

如果我们把括号拆掉会怎么样呢？

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a \times x_1 \times x_2$

我们发现一次项系数对应着原方程的 $b$ , $a \times x_1 \times x_2$ 对应 $c$

所以我们能得出

$\begin{cases} x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \\ x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} \end{cases}$

利用这两点我们能得出十分多的数比如： $abs(x_1-x_2),x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2,\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}} + \sqrt{\dfrac{x_2}{x_1}}$ 等复杂的式子

我们还可以利用韦达定理构造方程，从而求出解